Conceptos preliminares.
Para iniciar este viaje por las matemáticas previas al cálculo se trata de dar una idea relacionada al concepto de conjunto. El concepto de conjunto es indefinible, su noción es intuitiva, y se atribuye a toda colección de entes que está bien definida identificados de manera precisa, así se puede hablar del conjunto de los jugados de un tal o cual equipo de beisbol, futbol o cualquier otro deporte.
Notación de pertenencia.
De un elemento \(n\) cualquiera y un conjunto \(A\) se puede decir una de dos cosas:
\(~~~1. ~~n\in A~~~~~~~~~~~~n\) pertenece a \(A\)
\(~~~2. ~~n\notin A~~~~~~~~~~~~n\) no pertenece a \(A\)
Así por ejemplo si \(A\) representa al conjunto de los números pares, se puede escribir, \(6\in A\), y \(7\notin A.\) Los conjuntos pueden expresarse al menos de tres maneras diferentes:
1. Descripción verbal.
2. Enumeración de lista.
3. Notación de construcción de conjuntos.
Ejemplo. Tres maneras de expresar un conjunto.
1. El conjunto de las vocales del español.
2. \(A=\left\{a,e,\ i,o,u\right\}\)
3. \(\{A=x|x\) es una vocal del Español\(\}\)
La expresión \(x|x\) se lee “equis tal que equis”.
Por lo general en la enumeración de lista los conjuntos se representan por una letra mayúscula escribiendo entre llaves sus elementos con minúsculas, como en \(A=\left\{a,e,\ i,o,u\right\}\). Además, pueden tener un número limitado de elementos ser finitos, como el conjunto de los días de la semana o pueden tener un número ilimitado de elementos ser infinitos, como los conjuntos numéricos que no tienen final. Algunos conjuntos finitos pueden ser finitos no contable (tiene un final, pero son imposible de contar) como el conjunto de los granos de arena en una playa. Otros conjuntos como el de todos los cuerpos que forman el Cosmos, no pueden ser etiquetados como finitos no contables ya que en realidad no se sabe si tienen o no final, tales conjuntos son llamados indeterminados. En lo cotidiano los conjuntos se expresan por extensión y por comprensión.
Conjunto por extensión y comprensión.
Se dice que un conjunto está dado por extensión cuando se nombran sus elementos uno a uno en forma de lista, por ejemplo, \(A=\{\)lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo\(\}\), mientras que un conjunto se expresa por comprensión cuando se utiliza la variable (letra) escribiendo a continuación la propiedad, característica o cualidad común que lo define, por ejemplo, \(B\) es igual a los días de la semana. Al expresar el conjunto \(B\) de esta forma, de manera implícita se está haciendo referencia al conjunto \(A\) enunciado al comienzo del parráfo.
Ejemplo. Un conjunto por compresión y extensión.
\(A=\{x|x\) es un múltiplo positivo de cinco menor que treinta\}\) (comprensión).
Por extensión \(A=\{5,\ 10,15,\ 20,\ 25\}\)
Cardinal de un conjunto \(A.\)
Cuando un conjunto es finito contable, entonces el número de elemento que tiene es su cardinal y se denota por \(n\left(A\right)\) o \(\left|A\right|\). Así siete es el cardinal del conjunto de los días de la semana, mientras que doce es el cardinal del conjunto de los meses del año. Si dos conjuntos tienen el mismo cardinal son llamados conjuntos equipotentes, por ejemplo,
\(A=\{\)meses del años\(\}\) y \(B=\{\)apóstoles de Cristo\(\}\).
Subconjunto y superconjunto.
Si todos los elementos del conjunto \(A\) pertenecen al conjunto \(B\) se dice que \(A\) es un subconjunto (está incluido) de \(B\) y por tanto \(B\) es superconjunto de \(A,\) lo cual se denota como, \(A\subset B\) y se lee “A es subconjunto de B” (\(A\) está dentro de \(B\)) o en el caso contrario \(A\supset B\) se lee "\(A\) es superconjunto o supra conjunto de \(B\)" (\(B\) está dentro de \(A\)).
La inclusión de conjuntos tiene las propiedades:
Reflexiva: \(A\subset A\) para todo conjunto A.
Antisimétrica: dados \(A\) y \(B\) tal que, \(A\subset B\) y \(B\subset A\) entonces \(A=B.\)
Transitiva: dados \(A,\ B\) y \(C\) donde \(A\subset B\) y \(B\subset C\Longrightarrow A\subset C.\)
Ejemplo: Dados los conjuntos, \(A=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,10\}\) y \(B=\{1,\ 3,\ 5,\ 7\}\)
a) Escriba por comprensión cada uno de los conjuntos.
b) Escriba el cardinal de los conjuntos.
c) Escriba la relación de inclusión de los conjuntos.
Solución a:
\(A=\{\) los primeros diez números naturales\(\}\)
\(B=\{\) impares positivos menores que ocho\(\}\)
Solución b): \(n(A)=10;\ n(B)=4\)
Solución c): \(B\subset A\) por estar incluido en \(A.\)
Conjuntos unitarios y vacíos.
Se dice que un conjunto unitario es aquel que posee un solo elemento, por ejemplo,
\(A=\{x|x\) es el presidente Estados Unidos\(\}\).
\(B=\{x|x\) es el elemento químico con un solo protón en su núcleo\(\}\)
Un conjunto vacío es aquel que carece de elementos, su simbología es \(\emptyset\), que también se puede escribir con dos llaves como \(\{~\}\), este conjunto es subconjunto de todo conjunto. Un ejemplo de conjunto vacío es,
\(A=\{x|x\) seres humanos que respiran por branquias\(\}\)
Los subconjuntos de un conjunto \(A,\) distintos del conjunto vacío \(\emptyset\) y del mismo \(A\) son llamados subconjuntos propios, mientras que \(A\) y el conjunto vacío \(\emptyset\), se les llama subconjuntos impropios de \(A.\)
Al conjunto que posee todos los subconjuntos de un conjunto \(A\) dado se le llama conjunto potencia y se denota como \(P(A)\) o \(2^A\) donde el número de elementos de \(P(A)\) está dado por \(2^n\) para \(n\) igual al cardinal del con junto \(A.\) Por ejemplo, si se pide determinar el conjunto potencia del conjunto \(A=\{1,\ 2,\ 3\}\) la solución se escribe partiendo del hecho de que \(P\left(A\right)\) tiene \(2^3=8\) subconjuntos, los cuales son:
$$P\left(A\right)=\{\underbrace{\{1, 2, 3\},\emptyset,}_{{\rm subconjuntos~impropios}} \underbrace{\{1\}, \{2\}, \{3\},\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}}_{{\rm subconjuntos~propios}}\}$$
Donde se ha de notar que como no importa el orden, no existe ninguna otra representación de números que pertenezcan al conjunto \(A,\) por ser \(\{3,2\}=\{2,3\}\) y así sucesivamente.
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Aritmética y conjuntos numéricos.
Se dice que un conjunto numérico es una “agrupación” números con ciertas características que permiten identificarlos. La aritmética (rama de la matemática que estudia los números y las operaciones hechas con ellos) considera dos conjuntos de números, los números primos (enteros \(p\) mayores que uno, cuyos únicos divisores positivos son el uno y el mismo número \(p\)) y los números compuestos (aquellos que no primos), los cuales se obtienen como el producto de dos o más primos. Denotando el conjunto de los primos como \(p\) luego el conjunto se escribe,
$$p=\{2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 39,\ 41,\ 43,\ 47,\ 49,\ 51,\ ...\}$$
Así es posible afirmar que \(7\in p\land15\notin p.\)
Conjuntos numéricos
1. Conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\) surge con la necesidad de la humanidad de contar, sumar y ordenar elementos, es el conjunto formado por los números utilizados para contar o representar orden.
$$\mathbb{N}=\left\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ \ldots\right\}$$
Así se puede indicar que \(13\in\mathbb{N}\) mientras que \(0.5\notin\mathbb{N}.\) Con este conjunto es posible realizar adiciones, ordenar y multiplicar cantidades contenidas en él.
2. Conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\). Este conjunto surge con la necesidad de realizar sustracciones, representar deudas, perdidas o la inexistencia de cantidad. Es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los inversos aditivos de los naturales. $$\mathbb{Z}={\ldots,-5,\ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\mathbb{N}}$$ Así se puede indicar que \(100\in\mathbb{Z}\) mientras que \(0.33\notin\mathbb{Z}.\)
3. Conjunto de los racionales \(\mathbb{Q}\). Algunas veces al realizar divisiones o representar cierta parte de un todo (una fracción), no es posible escribir el resultado como un elemento de \(\mathbb{Z}\), por lo que se hace necesario expandir los conjuntos numéricos. Se dice que el conjunto de los números racionales es el conjunto de todos los números que se pueden expresar como el cociente de dos entero, el cual contiene a los enteros \(\mathbb{Z}\), y por tanto, a los naturales \(\mathbb{N}\). $$\mathbb{Q}=\left\{\mathbb{Z},\ \frac{n}{d}\right\}$$ donde \(n\) y \(d\) son coprimosy además, \(d\neq0\).
4. Conjunto de los números irracionales \(\mathbb{Q}\prime\) (cu prima). Cuando se mide la diagonal de un cuadrado, longitud de un círculo, cuando se intenta calcular la raíz enésima de un número primo, entre otros, el resultado no pertenece a ninguno de los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora, por lo cual se hace necesario un nuevo conjunto llamado conjunto de los números irracionales el cual es el conjunto de los números que no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Contiene al número \(\pi\), al número de Euler (número \(e\)), la famosa razón de oro representada por phi \(\Phi\), todas las raíces de todos los números primos. $$\mathbb{Q}^\prime=\left\{\ \pi\ ,e,\Phi,\ \sqrt[n]{p},...\right\}$$ donde \(p\) es primo.
5. Conjunto de los números reales denotado por \(\mathbb{R}\) es un “superconjunto” que contiene a todos los conjuntos de los racionales y los irracionales anteriores \(\mathbb{R}=\left\{\mathbb{Q} ,\mathbb{Q}\prime\right\}\), cada uno de sus elemento recibe el nombre de número real. Por su gran importancia se discuten algunas generalidades de este conjunto inmediatamente.
Propiedades de los reales \(\mathbb{R}\).
Ordenamiento: sean \(m\) y \(n\) dos números reales cualquieras, entonces se cumple una de las siguientes relaciones:
\(~~~~1.~~m=n~~~\) (\(m\) igual a \(n\))
\(~~~~2.~~m< n~~~\) (\(m\) es menor que \(n\))
\(~~~~3.~~m>n~~~\) (\(m\) es mayor que \(n\))
Algunas veces estas relaciones se escriben de manera combinadas como \(m\le n\) (\(m\) menor o igual que \(n\)), \(m\geq n\) (\(m\) mayor o igual que \(n\)).
Completitud o continuidad: también llamada propiedad de densidad expresa que "entre dos números reales cualquiera hay infinitos número reales" la cual permite representar los reales como una recta continua de puntos en un sistema coordenado en el a cada punto le pertenece un número y a cada número le pertenece un punto.
De una manera más formal la propiedad de completitud establece que “dados dos conjuntos no vacíos \(X\) y \(Y\) subconjuntos de los reales tales que \(a\in X\) y \(b\in Y\) para los cuales se cumple la relación \(a\le b\) entonces \(\exists\ c\in\mathbb{R}\ |\ a\le c\ \le b\) “existe un \(c\) elemento de los reales tal que \(a\) es menor \(c\) y \(c\) es menor que \(b\)”. Esta propiedad se asocia en la práctica con la actividad de medir permitiendo obtener resultados aproximados en las mediciones científicas.
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Operaciones en los reales.
Con la finalidad del estudio de las matemáticas previas al cálculo y las físicas, se introducen algunos conceptos fundamentales a ser recordados para una clara comprensión de los apartados posteriores, por considerar de suma importancia la construcción de una base aritmética sólida, la cual le permita adentrarse en las demás ramas de las matemáticas a través un sendero acomodado y no por medio de caminos tediosos.
En aritmética los números representan cantidades conocidas de algo, por ejemplo, al decir cinco naranjas, el número cinco representa la cantidad de naranjas que se tiene, no tiene significado expresar que se tiene o debe cinco, si no se dice la unidad, completar la idea con la unidad resulta de gran importancia para la compresión de la vida y el estudio de las ciencias. Así al hablar de cinco kilómetros, se escribe \(5{\rm k}m\), donde cinco es la cantidad y \({\rm k}m\) es la unidad de longitud.
Valor absoluto.
Cuando se representan los números reales sobre una recta es posible determinar analíticamente la distancia entre un real cualquiera y el cero, a través del concepto de valor absoluto de una cantidad, aunque debido a la propiedad de densidad es imposible realizar la medición. Sin embargo, mediante el empleo del concepto de valor absoluto las matemáticas dan respuesta a este dilema.
Definición de valor absoluto: el valor absoluto de una cantidad \(c\) denotado como \(\left|c\right|\) se define como, $$|c|=\left\{\begin{array}{l} -c, {~~~~\rm si~~} c< 0\\ ~~~ c, {~~~~\rm si~~} c\ge0 \end{array}\right.$$ Además si \(n\) es par \(\sqrt[n]{c^n}=|c|\)
El valor absoluto de una cantidad \(c\) no considera el signo, y puede interpretarse como la distancia en la recta real desde \(c\) hasta el cero, así por ejemplo se tiene que, $$\left\{\begin{array}{l} |-5|=-(-5)=5\\ |5|=5 \end{array}\right.$$ de donde se ve que \(|c|>0\) siempre.
Algunas propiedades del valor absoluto.
\begin{align}
&\left|c\right|\geq0~~~~~~~\left|c\right|~~~~~~~~~~~{\rm Siempre~ es~ positivo.}\\
&\left|c\right|=0\Longleftrightarrow c=0 ~~{\rm}\\
&\left|uv\right|=\left|u\right|\left|v\right|~~~~~~~~~~~~{\rm Valor~absoluto~de~un~poducto}\\
&\left|\frac{u}{v}\right|=\frac{\left|u\right|}{\left|v\right|}~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Valor~absoluto~de~un~cociente}\\
&\left|c^n\right|=c^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Valor~absoluto~de~una~potencia}\\
&\left|c\right|^n=c^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Potencia~de~un~valor~absoluto}\\
\end{align}
Otras propiedades para el valor absoluto deben esperar a la utilización de resoluciones de desigualdades para su análisis.
Distancia entre dos números reales.
Para iniciar el análisis de las operciones en los reales, es preciso entener el concepto de distancia entre dos números reales.
Sean a y \(b\in\mathbb{R}\), entonces la distancia entre ellos está dada por la expresión,
$$d\left(a,b\right)=\left|b-a\right|=d\left(b,a\right)$$
Ejemplo. Determinar la distancia entre recta real entre el par de números \(15\) y \(-20.\)
Solución:
$$d\left(15,-20\right)=\left|-20-15\right|=\left|-35\right|=35$$
En lo cotidiano el concepto de distancia ente reales se asocia a reales enteros, pero de manera genaral puede ser aplicado a cualquier par de números reales.
Orden operacional.
Aunque pueda parecer simple, un error común que se debe evitar al trabajar en matemáticas es tener resultados erróneos por no tomar en cuenta el orden operacional. Al trabajar con operaciones combinadas se requiere de un cierto orden para poder alcanzar el resultado correcto, esto es por lo que en este apartado se inicia presentando estas simples reglas operacionales, para obtener resultados correctos. Para los conjuntos numéricos la aritmética considera siete operaciones fundamentales, adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación y logaritmación. Algunas operaciones de estas son internas, otras no.
Se dice que una operación es interna en un conjunto numérico dado, si al operar dos elementos del conjunto, el resultado también pertenece al conjunto. La división no es interna en los conjuntos \(\mathbb{N},\mathbb{Z},\) y \(\mathbb{R}.\) Además, en los reales tampoco es interna la radicación, la logaritmación no es interna en ningún conjunto.
El orden operacional también llamado jerarquía de las operaciones, son una serie de reglas establecidas por los matemáticos, con el fin de lograr los resultados correctos al trabajar con operaciones combinadas. Dicho orden se resume a continuación.
Orden de las operaciones
1. Potenciación o logaritmación |
2. Radicación |
|---|---|
3. División |
4. Multiplicación |
5. Adición o sustracción |
En ninguna manera se afirma que no existe la posibilidad de que para ciertos casos se puedan realizar opereraciones aritmeticas correctas sin seguir este orden, sin embargo seguir este orden siempre proporcionará el resultado correcto.
Restricciones de \(\mathbb{R}.\)
Al definir las operaciones aritméticas en los reales estas heredan las propiedades aritmética de dichas operaciones, donde las únicas restricciones operacionales de \(\mathbb{R}\) son:
1. Dividir entre cero.
2. Raíz par de un \(n|n< 0\).
3. Logaritmo de un \(n|n\le0\).